22. Постройте график функции y=\frac{(0,5x²+x)|x|}{x+2} и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Рассмотрим функцию $$y = \frac{(0.5x^2 + x)|x|}{x+2}$$.

Сначала рассмотрим случай, когда x ≥ 0, тогда |x| = x:

$$y = \frac{(0.5x^2 + x)x}{x+2} = \frac{0.5x^3 + x^2}{x+2} = \frac{x^2(0.5x + 1)}{x+2} = \frac{0.5x^2(x + 2)}{x+2} = 0.5x^2$$

Так как x ≥ 0 и x ≠ -2, то y = 0.5x² для x > 0.

Теперь рассмотрим случай, когда x < 0, тогда |x| = -x:

$$y = \frac{(0.5x^2 + x)(-x)}{x+2} = \frac{-0.5x^3 - x^2}{x+2} = \frac{-0.5x^2(x + 2)}{x+2} = -0.5x^2$$

Так как x < 0 и x ≠ -2, то y = -0.5x² для x < 0 и x ≠ -2.

То есть, график функции состоит из двух парабол: y = 0.5x² для x > 0 и y = -0.5x² для x < 0 (с выколотой точкой x = -2). В точке x = -2 функция не определена, то есть, $$y = -0.5(-2)^2 = -0.5 \cdot 4 = -2$$.

Таким образом, мы имеем график, состоящий из двух ветвей парабол, симметричных относительно оси x. Одна ветвь находится в первом квадранте (x > 0, y > 0), а другая - в третьем квадранте (x < 0, y < 0). В точке x = -2 есть выколотая точка y = -2.

Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки, если m = -2 и если m < 0 (так как при m=0, x=0).

Ответ: m = -2 и m < -2