22. Постройте график функции у=х²-|4х+7| и определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Аналитическое определение функции по участкам. Рассмотрим функцию \( y = x^2 - |4x + 7| \). Чтобы избавиться от модуля, рассмотрим два случая:
   • Если \( 4x + 7 \ge 0 \), то есть \( x \ge -\frac{7}{4} \), тогда \( y = x^2 - (4x + 7) = x^2 - 4x - 7 \)
   • Если \( 4x + 7 < 0 \), то есть \( x < -\frac{7}{4} \), тогда \( y = x^2 + (4x + 7) = x^2 + 4x + 7 \)
2. Шаг 2: Преобразование функций к виду параболы. Преобразуем каждое выражение к виду параболы:
   • Для \( x \ge -\frac{7}{4} \): \( y = x^2 - 4x - 7 = (x - 2)^2 - 11 \)
   • Для \( x < -\frac{7}{4} \): \( y = x^2 + 4x + 7 = (x + 2)^2 + 3 \)
3. Шаг 3: Определение координат вершин парабол.
   • Для \( x \ge -\frac{7}{4} \), вершина параболы в точке \( (2, -11) \).
   • Для \( x < -\frac{7}{4} \), вершина параболы в точке \( (-2, 3) \).
4. Шаг 4: Построение графика функции (описание).
   • Парабола \( y = (x - 2)^2 - 11 \) определена для \( x \ge -\frac{7}{4} \). Начнем с вершины в точке \( (2, -11) \).
   • Парабола \( y = (x + 2)^2 + 3 \) определена для \( x < -\frac{7}{4} \). Начнем с вершины в точке \( (-2, 3) \).
   • В точке \( x = -\frac{7}{4} \) значения обеих частей должны совпадать. Проверим:
     • Для первой части: \( y = (-\frac{7}{4} - 2)^2 - 11 = (-\frac{15}{4})^2 - 11 = \frac{225}{16} - \frac{176}{16} = \frac{49}{16} \)
     • Для второй части: \( y = (-\frac{7}{4} + 2)^2 + 3 = (\frac{1}{4})^2 + 3 = \frac{1}{16} + \frac{48}{16} = \frac{49}{16} \)
     Значение \( y \) в точке стыка равно \( \frac{49}{16} \).

Для определения значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки, нужно визуально представить график и провести горизонтальные линии на разных уровнях. На графике будет три точки пересечения, когда прямая проходит через точку стыка двух парабол и когда прямая касается одной из парабол.

Из анализа графика можно сделать вывод, что прямая \( y = m \) имеет три общие точки при следующих значениях \( m \):

• \( m = \frac{49}{16} \) (в точке стыка)
• \( m = 3 \) (на уровне вершины параболы \( y = (x + 2)^2 + 3 \)

Ответ: m = 3; m = 49/16