22. Постройте график функции у = 3x-5 / 3x²-5x и определите, при каких значениях к прямая у=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию: $$y = \frac{3x-5}{3x^2-5x} = \frac{3x-5}{x(3x-5)}$$

При $$3x-5
eq 0$$, т.е. $$x
eq \frac{5}{3}$$, можно сократить дробь:

$$y = \frac{1}{x}$$, при $$x
eq \frac{5}{3}$$.

График функции - гипербола $$y = \frac{1}{x}$$ с выколотой точкой $$\left(\frac{5}{3}; \frac{3}{5}\right)$$.

Прямая $$y = kx$$ проходит через начало координат.

Она имеет с графиком ровно одну общую точку, если:

1. Прямая $$y = kx$$ касается гиперболы $$y = \frac{1}{x}$$. В этом случае $$kx = \frac{1}{x}$$, $$kx^2 = 1$$, $$x^2 = \frac{1}{k}$$. Если $$k > 0$$, то есть два решения, если $$k < 0$$, то решений нет, если k=0, решений нет. Касание, когда одно решение, будет, если $$k<0$$.
2. Прямая $$y = kx$$ проходит через выколотую точку $$\left(\frac{5}{3}; \frac{3}{5}\right)$$, тогда $$kx = \frac{1}{x}$$ или $$y=kx$$. Получаем: $$\frac{3}{5} = k \cdot \frac{5}{3}$$, $$k = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$$.

Тогда значения k равны $$\frac{9}{25}$$ и все k<0

Ответ: $$k = \frac{9}{25}$$ и $$k<0$$