Постройте график функции у = х²-4|х|-х и определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 4|x| - x$$.

1) Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид: $$y = x^2 - 4x - x = x^2 - 5x$$.

2) Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид: $$y = x^2 - 4(-x) - x = x^2 + 4x - x = x^2 + 3x$$.

Таким образом, функция задаётся двумя выражениями:

$$y = \begin{cases} x^2 - 5x, & x \geq 0 \\ x^2 + 3x, & x < 0 \end{cases}$$

Найдем вершину каждой параболы:

1) Для $$x \geq 0, y = x^2 - 5x$$: $$x_в = \frac{-(-5)}{2(1)} = \frac{5}{2} = 2.5$$. $$y_в = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$$

2) Для $$x < 0, y = x^2 + 3x$$: $$x_в = \frac{-3}{2(1)} = -1.5$$. $$y_в = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$$

Теперь построим график функции.

      |
      |      / \
      |     /   \
      |    /     \
------|---/-------\
      | /         \
      |/           \
      *------------- Вершина

Найдем, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Прямая $$y = m$$ пересекает график в:

1. одной точке, если $$m < -6.25$$,
2. двух точках, если $$m = -6.25$$,
3. двух точках, если $$m > 0$$,
4. трёх точках, если $$-6.25 < m < -2.25$$,
5. одной точке, если $$m = -2.25$$,
6. четырех точках, если $$-2.25 < m < 0$$

Прямая $$y = m$$ имеет не менее одной, но не более трёх общих точек при $$m = -6.25$$ или $$-6.25 < m < -2.25$$ или при $$m = 0$$.

Ответ: -6.25 ≤ m < -2.25, m = 0