22. Постройте график функции у = |x|(x+1)-4х и определите, при каких зна- чениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию у = |x|(x+1)-4х

1) Если x ≥ 0, то |x| = x, и функция принимает вид:

y = x(x + 1) - 4x = x² + x - 4x = x² - 3x

2) Если x < 0, то |x| = -x, и функция принимает вид:

y = -x(x + 1) - 4x = -x² - x - 4x = -x² - 5x

Составим таблицу значений для обеих частей:

При x ≥ 0: y = x² - 3x

При x < 0: y = -x² - 5x

График функции можно представить как параболы. Для первой параболы вершина находится в точке x = -b / (2a) = 3 / 2 = 1.5, y = (1.5)² - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25. Для второй параболы вершина находится в точке x = -b / (2a) = -5 / (-2) = -2.5, y = -(-2.5)² - 5(-2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через вершину параболы или касается одной из парабол.

В нашем случае, это происходит при m = -2.25 и при m = 6.25.

График функции:

      |
      |
6.25  |      .   <---- Вершина параболы для x < 0
      |     / \
      |    /   \
      |   /     \
------|-------.-------
      |      .         <---- Вершина параболы для x ≥ 0
-2.25 |
      |

Прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком при m = -2.25 и m = 0.

Ответ: -2,25; 0