Точка Т – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника АВТ равна половине площади трапеции.

Пусть ABCD – трапеция с основаниями AD и BC. Точка T – середина боковой стороны CD. Нужно доказать, что площадь треугольника ABT равна половине площади трапеции ABCD.

1. Проведем высоту BH к основанию AD трапеции. Эта высота также будет высотой для треугольников ABT и трапеции ABCD.
2. Площадь трапеции ABCD равна:

$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH$$

3. Проведем высоту TP к основанию AD и высоту TQ к основанию BC. Так как T – середина CD, то TP + TQ = BH.
4. Площадь треугольника ABT можно найти как сумму площадей треугольников ADT и BCT и площади трапеции ABCT:

$$S_{ABT} = S_{ADT} + S_{BCT} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot TP + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot TQ = \frac{1}{2} (AD \cdot TP + BC \cdot TQ)$$

5. Т.к. TP + TQ = BH, выразим TP = BH - TQ и подставим в уравнение площади треугольника ABT:

$$S_{ABT} = \frac{1}{2} (AD \cdot (BH - TQ) + BC \cdot TQ) = \frac{1}{2} (AD \cdot BH - AD \cdot TQ + BC \cdot TQ) = \frac{1}{2} (AD \cdot BH + (BC - AD) \cdot TQ)$$

6. Если точка T - середина CD, то TQ является средней линией для трапеции, и равна половине высоты BH:

$$TQ = \frac{BH}{2}$$

7. Подставим TQ в уравнение площади треугольника ABT:

$$S_{ABT} = \frac{1}{2} (AD \cdot BH + (BC - AD) \cdot \frac{BH}{2}) = \frac{1}{2} (AD \cdot BH + \frac{1}{2} BC \cdot BH - \frac{1}{2} AD \cdot BH) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} AD \cdot BH + \frac{1}{2} BC \cdot BH) = \frac{1}{4} BH (AD + BC)$$

8. Сопоставим полученную площадь треугольника ABT с площадью трапеции ABCD:

$$S_{ABT} = \frac{1}{4} BH (AD + BC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{BH}{2} (AD + BC) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$

Таким образом, площадь треугольника ABT равна половине площади трапеции ABCD, что и требовалось доказать.