14. Постройте график функции \(y = \frac{(x^2+3x)|x|}{x+3}\) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Рассмотрим функцию \(y = \frac{(x^2+3x)|x|}{x+3}\)

Преобразуем функцию:

\(y = \frac{x(x+3)|x|}{x+3}\)

При \(x
eq -3\) функцию можно упростить: \(y = x|x|\)

Рассмотрим два случая:

Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\), и функция примет вид: \(y = x \cdot x = x^2\)

Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и функция примет вид: \(y = x \cdot (-x) = -x^2\)

Таким образом, функцию можно записать в виде: \(y = \begin{cases} x^2, \quad x \geq 0 \\ -x^2, \quad x < 0 \end{cases}\)

Построим график функции

Заметим, что при x = -3, y = -(-3)^2 = -9. Следовательно, на графике функции будет выколотая точка (-3; -9). Также функция не определена в точке x = -3, так как в исходной функции знаменатель не может быть равен нулю.

Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки, если она проходит через выколотую точку (-3; -9) или через точку (0; 0).

Следовательно, m = 0 или m = -9.