Постройте график функции \[y = \frac{3x + 5}{3x^2 + 5x}.\] Определите, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разбираемся: Преобразуем функцию: \[y = \frac{3x + 5}{3x^2 + 5x} = \frac{3x + 5}{x(3x + 5)}\] При \( x
eq -\frac{5}{3} \) получим: \[y = \frac{1}{x}\] График функции \( y = \frac{1}{x} \) – гипербола. Однако, нужно учесть, что при \( x = -\frac{5}{3} \) функция не определена. Значит, на графике будет выколотая точка в \( x = -\frac{5}{3} \). Координаты выколотой точки: \[y = \frac{1}{-\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5}\] Выколотая точка \( (-\frac{5}{3}; -\frac{3}{5}) \). Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат. Чтобы она имела с графиком ровно одну общую точку, она должна либо касаться графика, либо проходить через выколотую точку. Касание невозможно, так как это гипербола. Прямая проходит через выколотую точку, если: \[-\frac{3}{5} = k \cdot (-\frac{5}{3})\] \[k = -\frac{3}{5} : -\frac{5}{3} = \frac{9}{25}\] Ответ: \( k = \frac{9}{25} \).