591. Последовательность (xn) — геометрическая прогрессия. Найдите: a) х₇, если х₁ = 16, q = 1/2; б) х₈, если х₁ = -810, q = 1/3; в) х₁₀, если х₁ = √2, q = -√2; г) х₆, если х₁ = -125, q = 0,2; д) х₅, если х₁ = 3/4, q = 2/3; e) х₄, если х₁ = 1,8, q = √3/3.

Для геометрической прогрессии общий член xₙ выражается формулой: $$x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$$.

a) Дано: x₁ = 16, q = 1/2, n = 7

$$x_7 = 16 \cdot (\frac{1}{2})^{7-1} = 16 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 16 \cdot \frac{1}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0.25$$

Ответ: 0.25

б) Дано: x₁ = -810, q = 1/3, n = 8

$$x_8 = -810 \cdot (\frac{1}{3})^{8-1} = -810 \cdot (\frac{1}{3})^7 = -810 \cdot \frac{1}{2187} = - \frac{810}{2187} = - \frac{10}{27}$$

Ответ: -10/27

в) Дано: x₁ = √2, q = -√2, n = 10

$$x_{10} = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^{10-1} = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^9 = \sqrt{2} \cdot (-(\sqrt{2})^9) = \sqrt{2} \cdot (-2^{9/2}) = -2^{1/2} \cdot 2^{9/2} = -2^{(1/2 + 9/2)} = -2^{10/2} = -2^5 = -32$$

Ответ: -32

г) Дано: x₁ = -125, q = 0.2, n = 6

$$x_6 = -125 \cdot (0.2)^{6-1} = -125 \cdot (0.2)^5 = -125 \cdot (\frac{1}{5})^5 = -125 \cdot \frac{1}{3125} = - \frac{125}{3125} = - \frac{1}{25} = -0.04$$

Ответ: -0.04

д) Дано: x₁ = 3/4, q = 2/3, n = 5

$$x_5 = \frac{3}{4} \cdot (\frac{2}{3})^{5-1} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81} = \frac{48}{324} = \frac{4}{27}$$

Ответ: 4/27

e) Дано: x₁ = 1.8, q = √3/3, n = 4

$$x_4 = 1.8 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3})^{4-1} = 1.8 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3})^3 = 1.8 \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{3^3} = 1.8 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{27} = 1.8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{1.8\sqrt{3}}{9} = \frac{18}{10} \cdot \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{5}$$

Ответ:$$\frac{\sqrt{3}}{5}$$