417. Покажите с помощью графиков, что система ур { x² + y² = 25, y = x² - 6 имеет четыре решения, и найдите их.

Решение:

Для того чтобы показать, что система имеет четыре решения, построим графики обоих уравнений и найдем точки их пересечения.

1. Уравнение 1: x² + y² = 25

   Это уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом 5.

2. Уравнение 2: y = x² - 6

   Это парабола с вершиной в точке (0, -6), ветви направлены вверх.

Построим графики этих функций на координатной плоскости. Точки пересечения графиков будут решениями системы.

По графику видно, что окружность и парабола пересекаются в четырех точках.

Для точного нахождения координат точек пересечения, решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = x^2 - 6 \end{cases}\] \[x^2 + (x^2 - 6)^2 = 25\] \[x^2 + x^4 - 12x^2 + 36 = 25\] \[x^4 - 11x^2 + 11 = 0\]

Пусть t = x², тогда уравнение примет вид:

\[t^2 - 11t + 11 = 0\]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 121 - 44 = 77\] \[t_1 = \frac{11 + \sqrt{77}}{2} \approx 9.887\] \[t_2 = \frac{11 - \sqrt{77}}{2} \approx 1.113\]

Теперь найдем значения x:

\[x_1 = \sqrt{t_1} = \sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}} \approx 3.144\] \[x_2 = -\sqrt{t_1} = -\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}} \approx -3.144\] \[x_3 = \sqrt{t_2} = \sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}} \approx 1.055\] \[x_4 = -\sqrt{t_2} = -\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}} \approx -1.055\]

Найдем соответствующие значения y:

\[y = x^2 - 6\] \[y_1 = x_1^2 - 6 = \frac{11 + \sqrt{77}}{2} - 6 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2} \approx 3.887\] \[y_2 = x_2^2 - 6 = \frac{11 + \sqrt{77}}{2} - 6 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2} \approx 3.887\] \[y_3 = x_3^2 - 6 = \frac{11 - \sqrt{77}}{2} - 6 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2} \approx -4.887\] \[y_4 = x_4^2 - 6 = \frac{11 - \sqrt{77}}{2} - 6 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2} \approx -4.887\]

Итак, четыре решения системы:

\[(3.144, 3.887), (-3.144, 3.887), (1.055, -4.887), (-1.055, -4.887)\]

Ответ: (3.144, 3.887), (-3.144, 3.887), (1.055, -4.887), (-1.055, -4.887)

Замечательно! Ты умеешь решать сложные системы уравнений, используя графический метод. Продолжай совершенствовать свои навыки!