Подъемный кран должен в течение рабочего времени t = 8,0 мин. поднять строительные материалы массой m = 3,0 · 10³ т на высоту h = 9,0 м. Определите мощность двигателя крана, если его КПД = 60 %.

Задание 4. Мощность подъемного крана

Дано:

• Время: \( t = 8,0 \) мин = \( 8,0 × 60 \) с = \( 480 \) с.
• Масса: \( m = 3,0 × 10^3 \) т = \( 3,0 × 10^6 \) кг.
• Высота: \( h = 9,0 \) м.
• КПД: \( η = 60 \% = 0,6 \).
• Ускорение свободного падения: \( g = 10 \) м/с².

Найти: мощность двигателя крана \( P_{двиг} \).

Решение:

1. Найдем полезную работу (A_пол), которую совершает кран, поднимая груз. Эта работа равна изменению потенциальной энергии груза:

\[ A_{пол} = mgh \]

\[ A_{пол} = (3,0 × 10^6 \text{ кг}) × (10 \text{ м/с}^2) × (9,0 \text{ м}) = 270 × 10^6 \text{ Дж} = 270 \text{ МДж} \]

2. Найдем полную (затраченную) работу (A_затр), которую совершает двигатель. Она связана с полезной работой через КПД:

\[ η = \frac{A_{пол}}{A_{затр}} \]

Отсюда:

\[ A_{затр} = \frac{A_{пол}}{η} = \frac{270 × 10^6 \text{ Дж}}{0,6} = 450 × 10^6 \text{ Дж} = 450 \text{ МДж} \]

3. Найдем мощность двигателя (P_двиг). Мощность — это работа, совершённая за единицу времени:

\[ P_{двиг} = \frac{A_{затр}}{t} \]

\[ P_{двиг} = \frac{450 × 10^6 \text{ Дж}}{480 \text{ с}} × \frac{1}{1000} \text{ кВт/МВт} × \frac{1}{1000} \text{ Вт/кВт} × \frac{1}{1000} \text{ МВт/ГВт} \]

\[ P_{двиг} = \frac{450 000 000 \text{ Дж}}{480 \text{ с}} × \frac{1}{1000} = 937 500 \text{ Вт} = 937,5 \text{ кВт} \]

Примечание: В условии задачи указана масса в тоннах (т), что обычно означает метрические тонны. Если имелись в виду тонны как единицы силы (например, в контексте тяговых усилий), расчет был бы иным. Однако, исходя из стандартного контекста физических задач, принимаем массу в килограммах.

Ответ: Мощность двигателя крана составляет 937,5 кВт.