По данным на рисунке найдите ОС, если ∠AOB = 120° и AB = 15√3.

Дано:

• \[ \angle AOB = 120^{\circ} \]
• \[ AB = 15\sqrt{3} \]

Решение:

На рисунке O - центр описанной окружности треугольника ABC. AB, BC, AC - хорды. OA, OB, OC - радиусы описанной окружности (R).

В треугольнике AOB, OA = OB = R. Это равнобедренный треугольник.

По теореме косинусов для треугольника AOB:

\[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \times OA \times OB \times \cos(\angle AOB) \]

\[ (15\sqrt{3})^2 = R^2 + R^2 - 2 \times R \times R \times \cos(120^{\circ}) \]

\[ 225 \times 3 = 2R^2 - 2R^2 \times (-\frac{1}{2}) \]

\[ 675 = 2R^2 + R^2 \]

\[ 675 = 3R^2 \]

\[ R^2 = \frac{675}{3} = 225 \]

\[ R = \sqrt{225} = 15 \]

OC - это радиус описанной окружности, так как C - точка на окружности, а O - центр.

Следовательно, OC = R = 15.

Ответ: 15