568. Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно \(\frac{7}{12}\).

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны (a) и (b). Известно, что площадь (S = 168) см² и отношение катетов (\frac{a}{b} = \frac{7}{12}\). Тогда (a = \frac{7}{12}b). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$ Подставим известные значения: $$168 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{12}b \cdot b$$ $$168 = \frac{7}{24}b^2$$ Теперь найдём (b^2): $$b^2 = \frac{168 \cdot 24}{7} = 24 \cdot 24$$ $$b = \sqrt{24 \cdot 24} = 24$$ Итак, (b = 24) см. Теперь найдём (a): $$a = \frac{7}{12}b = \frac{7}{12} \cdot 24 = 7 \cdot 2 = 14$$ Итак, (a = 14) см. Ответ: Катеты равны 14 см и 24 см.