6. Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{392\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пусть \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \(S = \frac{1}{2}ab\). Один из острых углов равен 30°. Пусть угол \(\alpha = 30^\circ\). Тогда тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(tg \alpha = \frac{a}{b}\), откуда \(a = b \cdot tg \alpha\).

Подставим это выражение в формулу площади: \(S = \frac{1}{2}b^2 \cdot tg \alpha\). Выразим \(b\) из этой формулы:

$$b = \sqrt{\frac{2S}{tg \alpha}} = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{392\sqrt{3}}{3}}{tg 30^\circ}} = \sqrt{\frac{\frac{784\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}} = \sqrt{784} = 28$$

Ответ: 28