Площадь прямоугольного треугольника равна $$rac{9\sqrt{3}}{2}$$. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом 30° и площадью $$S = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$.

Пусть a и b - катеты этого треугольника, где a - катет, лежащий против угла 30°.

Тогда b - другой катет, прилежащий к углу 30°.

Известно, что $$ S = \frac{1}{2}ab $$

Также известно, что $$ a = c \cdot sin(30°) = \frac{c}{2} $$, где c - гипотенуза.

И $$ b = c \cdot cos(30°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Подставляем в формулу площади:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c^2 \sqrt{3}}{8} $$

По условию, S = $$rac{9\sqrt{3}}{2}$$ , поэтому $$\frac{c^2 \sqrt{3}}{8} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$

$$ c^2 = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 9 \cdot 4 = 36 $$

c = $$\sqrt{36}$$ = 6

Ответ: Длина гипотенузы равна 6.