Решение задачи 526

Обозначим:

• ( S_{осн} ) — площадь основания цилиндра;
• ( S_{сеч} ) — площадь осевого сечения цилиндра;
• ( \alpha ) — угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания;
• ( \beta ) — угол между диагоналями осевого сечения.

По условию, $$ \frac{S_{осн}}{S_{сеч}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} $$.

а) Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания:

• ( S_{осн} = \pi r^2 ), где ( r ) — радиус основания цилиндра.
• ( S_{сеч} = 2rh ), где ( h ) — высота цилиндра.

Тогда:

$$ \frac{\pi r^2}{2rh} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} $$

Упростим:

$$ \frac{r}{2h} = \frac{\sqrt{3}}{4} $$ $$ \frac{r}{h} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и диагональю осевого сечения. Угол ( \alpha ) является углом между диагональю и основанием.

$$ \tan(\alpha) = \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$ $$ \alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) $$

б) Угол между диагоналями осевого сечения:

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами ( 2r ) и ( h ). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Угол ( \beta ) между диагоналями можно найти из треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ( 2r ).

Так как диагонали равны, этот треугольник равнобедренный. Тогда:

$$ \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{r}{h} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \frac{\beta}{2} = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$ $$ \beta = 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$

Ответ:

• а) $$ \alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) $$
• б) $$ \beta = 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$