Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

**Решение:** 1. **Обозначения:** Пусть *a* и *b* - стороны прямоугольника. 2. **Уравнения:** Периметр: \(2(a + b) = 14 \Rightarrow a + b = 7\) Диагональ: \(a^2 + b^2 = 5^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 25\) (по теореме Пифагора) 3. **Выразим *b* через *a* из первого уравнения:** \(b = 7 - a\) 4. **Подставим выражение для *b* во второе уравнение:** \(a^2 + (7 - a)^2 = 25\) \(a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25\) \(2a^2 - 14a + 24 = 0\) \(a^2 - 7a + 12 = 0\) (разделим на 2) 5. **Решим квадратное уравнение:** Найдем дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1\) \(a_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(a_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\) 6. **Найдем соответствующие значения *b*:** Для \(a_1 = 4\): \(b_1 = 7 - a_1 = 7 - 4 = 3\) Для \(a_2 = 3\): \(b_2 = 7 - a_2 = 7 - 3 = 4\) 7. **Площадь прямоугольника:** Площадь: \(S = a \cdot b\) В обоих случаях (\(a=4, b=3\) или \(a=3, b=4\)), площадь будет одинакова: \(S = 4 \cdot 3 = 12\) квадратных сантиметров. **Ответ:** Площадь прямоугольника равна 12 \(см^2\).