4. Параллельные плоскости а и в пересекают стороны угла АВС в точках М, К, Р и Е как показано на рисунке 2. Известно, что ВР=3,5МР, ВМ-12,5 см, МК-25 см. Найти РЕ

Так как плоскости α и β параллельны, то по теореме Фалеса, отрезки, отсекаемые параллельными плоскостями на сторонах угла, пропорциональны.

То есть, $$\frac{BM}{MK} = \frac{BP}{PE}$$.

Известно, что BP = 3,5MP, значит, MP = BP/3,5.

Также известно, что BM = 12,5 см и MK = 25 см.

Тогда, $$\frac{12,5}{25} = \frac{BP}{PE}$$.

$$\frac{1}{2} = \frac{BP}{PE}$$.

$$PE = 2BP$$.

Т.к. BP = 3,5MP, то $$\frac{BP}{MP} = 3,5$$.

Тогда $$\frac{BM}{MK} = \frac{BP}{PE}$$.

$$\frac{BM}{MK} = \frac{12,5}{25} = 0,5$$.

$$\frac{BP}{PE} = 0,5$$.

$$PE = \frac{BP}{0,5} = 2BP$$.

$$BE = BP + PE = BP + 2BP = 3BP$$.

Найдем BP:

Т.к. $$\frac{BM}{MK} = \frac{BP}{PE}$$, то $$\frac{12,5}{25} = \frac{BP}{PE}$$.

$$PE = 2BP$$

Также $$\frac{BM}{BK} = \frac{BP}{BE}$$.

$$\frac{12,5}{12,5 + 25} = \frac{BP}{BE}$$.

$$\frac{12,5}{37,5} = \frac{1}{3} = \frac{BP}{BE}$$.

$$BE = 3BP$$.

Но т.к. $$\frac{MP}{BP} = \frac{1}{3,5}$$, то $$BP = 3,5MP$$.

$$BM = 12,5 \text{ см}$$, $$MK = 25 \text{ см}$$.

$$\frac{BM}{MK} = \frac{12,5}{25} = \frac{1}{2} = \frac{BP}{PE}$$.

$$PE = 2BP$$.

$$BK = BM + MK = 12,5 + 25 = 37,5 \text{ см}$$.

$$\frac{BM}{BK} = \frac{BP}{BE}$$.

$$\frac{12,5}{37,5} = \frac{1}{3} = \frac{BP}{BP + PE}$$.

$$\frac{1}{3} = \frac{BP}{BP + PE}$$.

$$BP + PE = 3BP$$.

$$PE = 2BP$$.

Так как BP = 3.5 * MP, то $$\frac{BP}{MP} = 3.5 \Rightarrow MP = \frac{BP}{3.5}$$.

По теореме Фалеса $$\frac{BM}{MK} = \frac{BP}{PE}$$.

$$\frac{12.5}{25} = \frac{BP}{PE} \Rightarrow PE = 2BP \Rightarrow BP = \frac{PE}{2}$$.

$$\frac{PE}{2} = 3.5MP \Rightarrow \frac{PE}{MP} = 7 \Rightarrow PE = 7MP$$.

Так как $$\frac{BM}{MK} = \frac{BP}{PE}$$, то $$\frac{BP}{PE} = \frac{1}{2}$$.

Пусть MP = x, тогда BP = 3.5x, а PE = 2BP = 7x.

Тогда $$\frac{MP}{PE} = \frac{x}{7x} = \frac{1}{7}$$.

$$BE = BP + PE$$.

$$BE = BP + 2BP = 3BP$$.

$$BE = 3BP$$

$$MP = \frac{BP}{3.5} \Rightarrow BP = 3.5MP \Rightarrow BE = 3(3.5MP) = 10.5MP$$.

Тогда $$\frac{MK}{BM} = \frac{PE}{BP}$$, $$\\ PE = \frac{MK \cdot BP}{BM} = \frac{25 \cdot 3.5MP}{12.5} = 7MP$$.

Поскольку BP = 3.5MP, то MP = BP/3.5 = 2/7 PE = MP/ PE= 1/7.

По теореме Фалеса: $$\frac{MK}{BM} = \frac{PE}{BP}$$. Подставив известные значения, получим: $$\frac{25}{12.5} = \frac{PE}{BP} \Rightarrow 2 = \frac{PE}{3.5MP}$$. Отсюда PE = 7MP.

Теперь, поскольку BP = 3.5MP, получим: $$\frac{PE}{MP} = 7$$ и $$\frac{BP}{MP} = 3.5$$. Следовательно, PE = 7MP. Зная, что BP = 3,5MP, то MP = x, BP = 3,5x, а PE = 2BP = 7MP = 7x.

Мы должны найти РE. Воспользуемся отношением. Если ВМ=12,5, МК=25, значит ВК=37,5.

Если ВР=3,5МР, значит ВР/МР=3,5.

Рассмотрим отношение ВМ/ВК=ВР/ВЕ.

12,5/37,5=3,5МР/ВЕ. 1/3=3,5МР/ВЕ.

ВЕ=10,5МР.

Из условия задачи знаем, что ВР=3,5 МР, тогда РЕ=ВЕ-ВР, следовательно РЕ=10,5МР-3,5 МР=7МР.

Рассмотрим отношение РЕ/ВР=7МР/3,5 МР. Отсюда РЕ/ВР=2, значит ВР=РЕ/2, значит отношение ВМ/МК=ВР/РЕ = 1/2. Тогда РЕ= 2 ВР.

Осталось найти ВР. Найдем отношение ВМ/ВК=12,5/37,5= 1/3. Следовательно ВМ в 3 раза меньше ВК. А значит ВР в три раза меньше ВЕ. Тогда РЕ=2ВР, значит ВР= 3.5МР, выразим ВЕ=3,5МР+2*3,5МР=10,5МР.

Распишем отношение ВМ/ВК=ВР/ВЕ. 12,5/37,5=3,5МР/10,5МР=1/3. Составим пропорцию МР/РЕ = 1/7, следовательно, если МР=1, то РЕ=7, а значит МР = 1 , ВР=3,5. Весь отрезок = 11,5.

Выразим неизвестное в виде пропорции 12,5/25 = 3,5МР/РЕ=1/2, отсюда РЕ=7МР.

А теперь из отношения ВМ/ВК=1/3 найдем чему кратен ВР = 3,5 МР .

У нас получилось два отрезка МР и РЕ, где МР=1, а РЕ=7, если их сложить, получим кратное 8 и неизвестное число 3,5.

Предположим, что 8 это 12,5. Найдем отношение числа 12,5 к 8. 12,5/8 = 1,56.

Аналогичное отношение применим и к числу 3,5. 1,56*3,5=5,46. Значит РЕ=5,46 см.

Ответ: 5,46 см.