162. Ответьте для каждой пары высказываний А и В на следующие четыре вопроса. Будет ли А достаточным для В? Будет ли А необходимым для В? Будет ли В достаточным для А? Будет ли В необходимым для А? а) А = «медиана ряда чисел больше 0»; В = «среднее арифметическое ряда чисел больше 0»; б) А = «граф не содержит эйлерова цикла»; В = «степени всех вершин нечётные»; в) А = «натуральные числа а и b имеют разную чётность»; В = «сумма (а + b) нечётная»; г) А = «натуральные числа а и b имеют разную чётность»; В = «произведение ab нечётное»; д) А = «натуральные числа а и b имеют одинаковую чётность»; В = «произведение ав нечётное».

Привет! Сейчас разберем логические связи между утверждениями, чтобы понять, какие условия достаточны и необходимы. Готов?

а) Медиана и среднее арифметическое

• Достаточность А для В: Если медиана ряда чисел больше 0, то среднее арифметическое ряда чисел больше 0? Нет.
• Необходимость А для В: Если среднее арифметическое ряда чисел больше 0, то медиана ряда чисел больше 0? Нет.
• Достаточность В для А: Если среднее арифметическое ряда чисел больше 0, то медиана ряда чисел больше 0? Нет.
• Необходимость В для А: Если медиана ряда чисел больше 0, то среднее арифметическое ряда чисел больше 0? Нет.

Пример: ряд чисел -10, 1, 2, 3, 4. Медиана = 2, среднее = 0. В этом случае утверждение A истинно, a B нет. Если ряд чисел -1, 2, 3, 4, 5, то медиана = 3, среднее = 2.66. В этом случае оба утверждения верны.

б) Граф и степени вершин

• Достаточность А для В: Если граф не содержит эйлерова цикла, то степени всех вершин нечётные? Нет.
• Необходимость А для В: Если степени всех вершин нечётные, то граф не содержит эйлерова цикла? Да.
• Достаточность В для А: Если степени всех вершин нечётные, то граф не содержит эйлерова цикла? Да.
• Необходимость В для А: Если граф не содержит эйлерова цикла, то степени всех вершин нечётные? Нет.

В графе, где степени всех вершин нечётные, обязательно отсутствует эйлеров цикл, так как для его существования необходимо, чтобы все вершины имели чётную степень.

в) Чётность суммы

• Достаточность А для В: Если натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют разную чётность, то сумма \( (a + b) \) нечётная? Да.
• Необходимость А для В: Если сумма \( (a + b) \) нечётная, то натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют разную чётность? Да.
• Достаточность В для А: Если сумма \( (a + b) \) нечётная, то натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют разную чётность? Да.
• Необходимость В для А: Если натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют разную чётность, то сумма \( (a + b) \) нечётная? Да.

Сумма двух чисел нечётная только тогда, когда одно из них чётное, а другое нечётное. Следовательно, утверждения равносильны.

г) Чётность произведения

• Достаточность А для В: Если натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют разную чётность, то произведение \( ab \) нечётное? Нет.
• Необходимость А для В: Если произведение \( ab \) нечётное, то натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют разную чётность? Нет.
• Достаточность В для А: Если произведение \( ab \) нечётное, то натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют разную чётность? Нет.
• Необходимость В для А: Если натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют разную чётность, то произведение \( ab \) нечётное? Нет.

Произведение двух чисел нечётное только тогда, когда оба числа нечётные. Утверждение A никогда не следует из B, и наоборот.

д) Одинаковая чётность и произведение

• Достаточность А для В: Если натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют одинаковую чётность, то произведение \( ab \) нечётное? Нет.
• Необходимость А для В: Если произведение \( ab \) нечётное, то натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют одинаковую чётность? Да.
• Достаточность В для А: Если произведение \( ab \) нечётное, то натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют одинаковую чётность? Да.
• Необходимость В для А: Если натуральные числа \( a \) и \( b \) имеют одинаковую чётность, то произведение \( ab \) нечётное? Нет.

Если оба числа чётные, то и произведение чётное, а если оба нечётные, то и произведение нечётное. Произведение двух чисел нечётное только тогда, когда оба числа нечётные, поэтому можно утверждать, что, если произведение нечётное, то оба числа имеют одинаковую чётность (оба нечётные).

а) А не является достаточным или необходимым для В. б) А не является достаточным для В, но необходимым. B является достаточным для А. в) А является достаточным и необходимым для В (равносильны). г) А не является достаточным или необходимым для В. д) А не является достаточным для В, но необходимым. B является достаточным для А.