161. Даны высказывания А и В. Сформулируйте высказывания \( A \Rightarrow B \) и \( B \Rightarrow A \). Определите истинность каждого из них. Если они оба истинные, сформулируйте утверждение о равно- сильности: а) А = «натуральное число n является чётным»; В = «квадрат натурального числа n является чётным числом»; б) А = «натуральное число n является нечётным»; В = «квадрат натурального числа n является нечётным числом»; в) А = «натуральное число n делится на 3»; В = «квадрат натурального числа n делится на 3»; г) А = «натуральное число n при делении на 3 даёт в остатке 1»; В = «квадрат натурального числа n при делении на 3 даёт в остатке 1»; д) А = «натуральное число n при делении на 3 даёт в остатке 2»; В = «квадрат натурального числа n при делении на 3 даёт в остатке 2».

Привет! Давай разберем это задание по логике и теории чисел. Тут нужно проанализировать, как связаны утверждения о числе и его квадрате. Поехали!

а) Четность

• \( A \Rightarrow B \): Если натуральное число \( n \) чётное, то \( n^2 \) чётное. Это истинно.
• \( B \Rightarrow A \): Если квадрат натурального числа \( n^2 \) чётное, то \( n \) чётное. Это тоже истинно.

Поскольку оба утверждения истинны, можно сказать, что чётность числа \( n \) равносильна чётности его квадрата \( n^2 \).

б) Нечетность

• \( A \Rightarrow B \): Если натуральное число \( n \) нечётное, то \( n^2 \) нечётное. Это истинно.
• \( B \Rightarrow A \): Если квадрат натурального числа \( n^2 \) нечётное, то \( n \) нечётное. Это тоже истинно.

Опять же, оба утверждения истинны, значит, нечётность числа \( n \) равносильна нечётности его квадрата \( n^2 \).

в) Делимость на 3

• \( A \Rightarrow B \): Если натуральное число \( n \) делится на 3, то \( n^2 \) делится на 3. Это истинно.
• \( B \Rightarrow A \): Если квадрат натурального числа \( n^2 \) делится на 3, то \( n \) делится на 3. Это тоже истинно.

И здесь оба утверждения истинны, следовательно, делимость числа \( n \) на 3 равносильна делимости его квадрата \( n^2 \) на 3.

г) Остаток 1 при делении на 3

• \( A \Rightarrow B \): Если натуральное число \( n \) при делении на 3 даёт в остатке 1, то \( n^2 \) при делении на 3 даёт в остатке 1. Это истинно.
• \( B \Rightarrow A \): Если квадрат натурального числа \( n^2 \) при делении на 3 даёт в остатке 1, то \( n \) при делении на 3 даёт в остатке 1. Это истинно.

Оба утверждения истинны, значит, остаток 1 при делении числа \( n \) на 3 равносилен остатку 1 при делении его квадрата \( n^2 \) на 3.

д) Остаток 2 при делении на 3

• \( A \Rightarrow B \): Если натуральное число \( n \) при делении на 3 даёт в остатке 2, то \( n^2 \) при делении на 3 даёт в остатке 2. Это неверно.

Например, если \( n = 2 \), то \( n^2 = 4 \), и 4 при делении на 3 даёт остаток 1.

• \( B \Rightarrow A \): Если квадрат натурального числа \( n^2 \) при делении на 3 даёт в остатке 2, то \( n \) при делении на 3 даёт в остатке 2. Это неверно.

Таким образом, утверждения не равносильны, и ни одно из них не является истинным.

а) Равносильность: Чётность числа n равносильна чётности его квадрата n². Оба утверждения истинны. б) Равносильность: Нечётность числа n равносильна нечётности его квадрата n². Оба утверждения истинны. в) Равносильность: Делимость числа n на 3 равносильна делимости его квадрата n² на 3. Оба утверждения истинны. г) Равносильность: Остаток 1 при делении числа n на 3 равносилен остатку 1 при делении его квадрата n² на 3. Оба утверждения истинны. д) Не равносильны: Утверждения не равносильны. Ни одно из них не является истинным.