Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC, изображенного на рисунке, проведенная к его гипотенузе, CM — биссектриса этого треугольника. Какова градусная мера угла BAC?

Решение:

На рисунке дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90° \). Отрезок CH — высота, проведенная к гипотенузе AB. Отрезок CM — биссектриса угла C.

По условию, \( \angle ACH = 30° \) и \( \angle BCM = 20° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Сумма острых углов в нем равна 90°:

\( \angle CAH + \angle ACH = 90° \)

\( \angle BAC + 30° = 90° \)

\( \angle BAC = 90° - 30° \)

\( \angle BAC = 60° \).

Также, так как CM — биссектриса угла C, то она делит угол C пополам:

\( \angle ACM = \angle BCM = \frac{90°}{2} = 45° \).

Угол \( \angle ACB = 90° \).

Из рисунка видно, что \( \angle ACB = \angle ACH + \angle HCM = 90° \) и \( \angle ACB = \angle ACM + \angle BCM = 90° \).

Из \( \angle ACM = 45° \) и \( \angle ACH = 30° \) следует, что \( \angle HCM = \angle ACM - \angle ACH = 45° - 30° = 15° \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle ABC = 90° - \angle BAC \).

В прямоугольном треугольнике BCH:

\( \angle CBH + \angle BCH = 90° \)

\( \angle ABC + \angle BCH = 90° \).

\( \angle BCH = \angle ACB - \angle ACH = 90° - 30° = 60° \).

\( \angle ABC + 60° = 90° \) → \( \angle ABC = 30° \).

Проверка: \( \angle BAC + \angle ABC = 60° + 30° = 90° \).

Ответ: 60°