Отрезки АВ и МР пересекаются в точке С и АС: BC = CP : CM. Докажите, что АP || BM.

Рассмотрим треугольники \(\triangle ACP\) и \(\triangle BCM\). Дано, что \(\frac{AC}{BC} = \frac{CP}{CM}\). По условию задачи углы \(\angle ACP\) и \(\angle BCM\) равны, так как они вертикальные. Следовательно, треугольники \(\triangle ACP\) и \(\triangle BCM\) подобны по второму признаку подобия (две стороны пропорциональны и угол между ними равен).

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle CAP = \angle CBM\). Эти углы являются накрест лежащими при прямых AP и BM и секущей AB. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AP || BM.