2. Дано: ДАВС; ∠C= 90°; AC-6;CB=8; CHAB. а) Доказать: ДАСН~ △CBH. б) Найти: Ѕсвн И SACH

Решение:

а) Рассмотрим треугольники ΔACH и ΔCBH:

1. ∠CHA = ∠CHВ (так как СH высота)
2. ∠ACH = 90° - ∠А, ∠B = 90° - ∠А => ∠ACH = ∠B

Отсюда следует, что ΔACH ~ ΔCBH по признаку подобия треугольников (по двум углам).

б) По теореме об отношениях площадей подобных треугольников:

\[\frac{S_{ACH}}{S_{CBH}} = k^2\]

где k = \(\frac{AC}{CB}\) = \(\frac{6}{8}\) = \(\frac{3}{4}\)

По свойству площадей:

\[S_{ACH} + S_{CBH} = S_{ABC}\]

Площадь SABC = \(\frac{1}{2}\) AC \(\cdot\) CB = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 6 \(\cdot\) 8 = 24

\[\frac{S_{ACH}}{S_{CBH}} = \frac{9}{16}\]

Выразим S_{ACH} через S_{CBH}:

\[S_{ACH} = \frac{9}{16} S_{CBH}\]

Подставим в уравнение S_{ACH} + S_{CBH} = 24:

\[\frac{9}{16} S_{CBH} + S_{CBH} = 24\] \[\frac{25}{16} S_{CBH} = 24\] \[S_{CBH} = \frac{16 \cdot 24}{25} = \frac{384}{25} = 15.36\]

Теперь найдем S_{ACH}:

\[S_{ACH} = 24 - S_{CBH} = 24 - 15.36 = 8.64\]

Ответ: S_ACH = 8.64; S_CBH = 15.36

Проверка за 10 секунд: Убедись, что отношение площадей S_ACH / S_CBH примерно равно 0.5625 (или 9/16), как и квадрат коэффициента подобия.

Доп. профит: Запомни: В подобных треугольниках отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия. Это часто помогает быстро решать задачи.