313. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Докажите, что АС || BD.

Дано: Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, AO = OB, CO = OD.

Доказать: AC || BD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOC и BOD.
2. В этих треугольниках AO = OB (по условию), CO = OD (по условию).
3. Углы ∠AOC и ∠BOD равны как вертикальные углы.
4. Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, т.е. ∠ACO = ∠BDO.
6. Углы ∠ACO и ∠BDO являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей CD.
7. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, AC || BD, что и требовалось доказать.

Ответ: AC || BD.