Основания трапеции равны 3 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение:

Пусть дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AB = 3\) и \(CD = 14\). Пусть \(MN\) — средняя линия трапеции, где \(M\) — середина \(AD\), а \(N\) — середина \(BC\).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{3 + 14}{2} = \frac{17}{2} = 8.5\).

Пусть \(AC\) — диагональ, пересекающая среднюю линию \(MN\) в точке \(P\).

Диагональ \(AC\) делит среднюю линию \(MN\) на два отрезка: \(MP\) и \(PN\).

Отрезок \(MP\) соединяет середину боковой стороны \(AD\) с точкой на диагонали \(AC\). Рассмотрим треугольник \(ADC\). \(MP\) является средней линией в этом треугольнике, проведённой из середины \(AD\) параллельно \(CD\).

Следовательно, \(MP = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} × 14 = 7\).

Отрезок \(PN\) соединяет середину боковой стороны \(BC\) с точкой на диагонали \(AC\). Рассмотрим треугольник \(ABC\). \(PN\) является средней линией в этом треугольнике, проведённой из середины \(BC\) параллельно \(AB\).

Следовательно, \(PN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 3 = 1.5\).

Проверка: \(MP + PN = 7 + 1.5 = 8.5\), что равно длине средней линии \(MN\).

Нас просят найти больший из отрезков, на которые делит среднюю линию диагональ. Это отрезок \(MP\).

Ответ: 7