На стороне ВС прямоугольника ABCD, у которого AB=12 и AD=17, отмечена точка Е так, что ∠EAB=45°. Найдите ED.

Решение:

Дано прямоугольник \(ABCD\) с \(AB = 12\) и \(AD = 17\). Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\).

По условию \(AB = CD = 12\) и \(BC = AD = 17\).

Рассмотрим треугольник \(ABE\). \(AB = 12\). Угол \(B = 90^\circ\) так как \(ABCD\) — прямоугольник.

Нам дан угол \( ∠EAB = 45^\circ \).

В треугольнике \(ABE\) сумма углов равна \(180^\circ\). Поэтому:

\( ∠AEB = 180^\circ - ∠B - ∠EAB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Так как \( ∠AEB = ∠EAB = 45^\circ \), то треугольник \(ABE\) является равнобедренным, и \(BE = AB\).

Следовательно, \(BE = 12\).

Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\), и \(BC = 17\).

Значит, \(EC = BC - BE = 17 - 12 = 5\).

Теперь рассмотрим треугольник \(EDC\). Этот треугольник прямоугольный, так как угол \(C = 90^\circ\) (угол прямоугольника).

Мы знаем длины катетов \(CD = 12\) и \(EC = 5\).

По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы \(ED\):

\( ED^2 = EC^2 + CD^2 \)

\( ED^2 = 5^2 + 12^2 \)

\( ED^2 = 25 + 144 \)

\( ED^2 = 169 \)

\( ED = √{169} = 13 \)

Ответ: 13