Основание равнобедренного треугольника равно 24, а его периметр — 50. Какова площадь этого треугольника?

Решение:

Пусть основание равнобедренного треугольника равно \( a \), а боковые стороны — \( b \). Периметр треугольника равен \( P = a + 2b \).

Дано: \( a = 24 \) см, \( P = 50 \) см.

Найдём длину боковой стороны \( b \):

\( 50 = 24 + 2b \)

\( 2b = 50 - 24 \)

\( 2b = 26 \)

\( b = 13 \) см.

Теперь найдём высоту \( h \), опущенную на основание. Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам. Получаем два прямоугольных треугольника с катетами \( h \) и \( a/2 \), и гипотенузой \( b \).

\( a/2 = 24 / 2 = 12 \) см.

По теореме Пифагора:

\( h^2 + (a/2)^2 = b^2 \)

\( h^2 + 12^2 = 13^2 \)

\( h^2 + 144 = 169 \)

\( h^2 = 169 - 144 \)

\( h^2 = 25 \)

\( h = 5 \) см.

Площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2} × a × h \).

\( S = \frac{1}{2} × 24 × 5 \)

\( S = 12 × 5 \)

\( S = 60 \) см².

Ответ: 60 см².