554. Основание равнобедренного треугольника на 2 см больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если высота, проведенная к основанию, равна 8 см.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AB = BC), AC - основание, AC = AB + 2, BH - высота, BH = 8 см. Пусть AB = x, тогда AC = x + 2. Рассмотрим треугольник ABH, он прямоугольный, BH - высота.

AH = AC / 2, так как высота в равнобедренном треугольнике является и медианой. AH = (x + 2) / 2. По теореме Пифагора AB^2 = AH^2 + BH^2. Тогда x^2 = ((x + 2) / 2)^2 + 8^2.

$$x^2 = \frac{(x + 2)^2}{4} + 64$$ $$4x^2 = x^2 + 4x + 4 + 256$$ $$3x^2 - 4x - 260 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-260) = 16 + 3120 = 3136$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 56}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 56}{2 \cdot 3} = \frac{-52}{6} = -\frac{26}{3}$$ - не подходит, так как сторона не может быть отрицательной.

Тогда AB = BC = 10 см, AC = 10 + 2 = 12 см.

Ответ: 10 см, 10 см, 12 см.