На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что АК = 1/4 KD. Диагональ АС и отрезок ВК пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см².

Пусть площадь треугольника APK равна 1 см². Обозначим площадь параллелограмма ABCD как S.

1. Выразим KD через AK:

$$AK = \frac{1}{4}KD$$

$$KD = 4AK$$

2. Выразим AD через AK:

$$AD = AK + KD = AK + 4AK = 5AK$$

3. Рассмотрим треугольники APK и CPD. Они подобны, так как AD || BC.

Коэффициент подобия k = AK / CD = AK / AD = AK / 5AK = 1/5.

4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$S_{APK} / S_{CPD} = k^2$$

$$1 / S_{CPD} = (1/5)^2$$

$$S_{CPD} = 25$$

5. Рассмотрим треугольники ABK и CBK, у них общее основание BK. Отношение их высот равно отношению AK к KD.

$$S_{ABK} / S_{CBK} = AK / KD = 1/4$$

Площадь треугольника ABK = APK + PBK = 1 + PBK

Площадь треугольника CBK = площадь параллелограмма ABCD / 2 – площадь ABK

Подставим все в уравнение:

$$(1 + PBK) / (S/2 - (1 + PBK)) = 1/4$$

$$4 + 4PBK = S/2 - 1 - PBK$$

$$5PBK = S/2 - 5$$

$$PBK = S/10 - 1$$

6. Рассмотрим треугольники APB и DPC. Они имеют общую высоту, проведенную из точки C, а их основания AP и PD лежат на одной прямой. Отношение площадей этих треугольников равно отношению длин их оснований.

$$S_{APB} / S_{DPC} = AP / PC$$

Треугольники APB и APK имеют общую высоту, проведенную из точки P, а их основания AK и KB лежат на одной прямой. Отношение площадей этих треугольников равно отношению длин их оснований.

$$S_{APK} / S_{CPD} = AK / CD = 1/5$$

Площадь CPD = 25

$$S_{APB} = S_{ABCD}/2 - S_{CPD} = S/2 -25$$

$$ S_{APB} / S_{DPC} = (S/2 - 25)/25 = 1/5$$

S/2 - 25 = 5

S/2 = 30

S = 60

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна 60 см².