Решение задач

Задача 1

Дано:

• Масса груза: $$m = 120 \text{ кг}$$
• Максимальная нагрузка (сила натяжения каната): $$T_{max} = 2000 \text{ Н}$$

Найти: Максимальное ускорение $$a$$

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для груза, поднимаемого с ускорением $$a$$:

$$T - mg = ma$$

Где:

• $$T$$ - сила натяжения каната
• $$m$$ - масса груза
• $$g$$ - ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/с²)
• $$a$$ - ускорение груза

Максимальное ускорение будет достигнуто, когда сила натяжения каната достигнет своего максимального значения $$T_{max}$$:

$$T_{max} - mg = ma_{max}$$

Выразим максимальное ускорение:

$$a_{max} = \frac{T_{max} - mg}{m}$$

Подставим значения:

$$a_{max} = \frac{2000 \text{ Н} - 120 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{120 \text{ кг}}$$ $$a_{max} = \frac{2000 - 1176}{120} = \frac{824}{120} \approx 6.87 \text{ м/с}^2$$

Ответ: Максимальное ускорение, с которым можно поднимать груз, равно приблизительно 6.87 м/с².

Задача 2

Дано:

• Масса вагона: $$m = 20 \text{ т} = 20000 \text{ кг}$$
• Время остановки: $$t = 50 \text{ с}$$
• Расстояние, пройденное до остановки: $$s = 125 \text{ м}$$

Найти: Сила трения $$F_{тр}$$

Решение:

Найдем ускорение вагона, используя формулу для равнозамедленного движения:

$$s = v_0t + \frac{at^2}{2}$$

Так как вагон останавливается, конечная скорость равна 0. Мы можем выразить начальную скорость $$v_0$$ через ускорение и время:

$$v = v_0 + at$$ $$0 = v_0 + at \Rightarrow v_0 = -at$$

Подставим это в уравнение для расстояния:

$$s = -at \cdot t + \frac{at^2}{2} = -at^2 + \frac{at^2}{2} = -\frac{at^2}{2}$$

Теперь выразим ускорение:

$$a = -\frac{2s}{t^2} = -\frac{2 \cdot 125 \text{ м}}{(50 \text{ с})^2} = -\frac{250}{2500} = -0.1 \text{ м/с}^2$$

Сила трения равна массе вагона, умноженной на ускорение:

$$F_{тр} = ma = 20000 \text{ кг} \cdot |-0.1 \text{ м/с}^2| = 2000 \text{ Н}$$

Ответ: Сила трения равна 2000 Н.

Задача 3

Дано:

• Масса тела: $$m = 1 \text{ кг}$$
• Угол наклона плоскости: $$\alpha = 30^\circ$$

Найти: Сила $$F$$

Решение:

На тело действуют:

• Сила тяжести $$mg$$, направленная вертикально вниз.
• Сила реакции опоры $$N$$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
• Сила $$F$$, направленная вдоль наклонной плоскости вверх.

Чтобы тело находилось в покое, сумма сил, действующих на него, должна быть равна нулю. Разложим силу тяжести на две составляющие:

• $$mg\sin(\alpha)$$ - направлена вдоль наклонной плоскости вниз.
• $$mg\cos(\alpha)$$ - направлена перпендикулярно наклонной плоскости вниз.

Тогда, чтобы тело не соскальзывало, сила $$F$$ должна быть равна составляющей силы тяжести, направленной вдоль наклонной плоскости:

$$F = mg\sin(\alpha)$$

Подставим значения:

$$F = 1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30^\circ)$$ $$F = 1 \cdot 9.8 \cdot 0.5 = 4.9 \text{ Н}$$

Ответ: Значение силы F равно 4.9 Н.