Определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно две точки.

Решение:

Для определения значений m, при которых прямая y = m имеет ровно две точки пересечения с графиком функции, необходимо проанализировать график этой функции.

График состоит из трех частей:

1. При x < 2: y = 2,5x - 1. Это луч, исходящий из точки (2; 4) (не включая ее) и идущий вниз влево. Диапазон значений y для этого участка: y < 4.
2. При 2 ≤ x ≤ 3: y = -3,5x + 11. Это отрезок, соединяющий точки (2; 4) и (3; 0,5) (обе точки включаются). Диапазон значений y для этого участка: [0,5; 4].
3. При x > 3: y = x - 1. Это луч, исходящий из точки (3; 2) (не включая ее) и идущий вверх вправо. Диапазон значений y для этого участка: y > 2.

Теперь рассмотрим, при каких горизонтальных прямых y = m будет ровно две точки пересечения:

• Если m = 4, прямая y = 4 пересечет график в одной точке (2; 4) (из второго участка) и будет касаться начала луча первого участка. Это одна точка.
• Если m = 0,5, прямая y = 0,5 пересечет график в одной точке (3; 0,5) (из второго участка) и будет пересекать луч третьего участка (так как 0,5 < 2). Это две точки.
• Если m > 0,5 и m < 2, прямая y = m пересечет луч первого участка (т.к. m < 4) и отрезок второго участка. Это две точки.
• Если m = 2, прямая y = 2 пересечет отрезок второго участка (т.к. 2 находится в [0.5, 4]) и начало луча третьего участка (3; 2). Это две точки.
• Если m > 2 и m < 4, прямая y = m пересечет отрезок второго участка (т.к. m < 4) и луч третьего участка (т.к. m > 2). Это две точки.

Таким образом, ровно две точки пересечения будут, когда:

• 0,5 < m < 2 (пересечение с участком 2 и участком 1)
• m = 2 (пересечение с участком 2 и началом участка 3)
• 2 < m < 4 (пересечение с участком 2 и участком 3)

Объединяя эти интервалы, получаем:

0,5 < m < 4.

Ответ: m ∈ (0,5; 4)