Определи корни уравнения: $$(4^x - 10 \cdot 2^x + 16) \cdot \sqrt{x - 2} = 0.$$ (В ответе запиши корни в порядке возрастания.)

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решим уравнение $$(4^x - 10 \cdot 2^x + 16) \cdot \sqrt{x - 2} = 0.$$

Уравнение распадается на два случая:

1) $$\sqrt{x - 2} = 0$$

Возводим обе части в квадрат:

$$x - 2 = 0$$

$$x = 2$$

Проверим, подставив x = 2 в исходное уравнение:

$$(4^2 - 10 \cdot 2^2 + 16) \cdot \sqrt{2 - 2} = (16 - 40 + 16) \cdot 0 = -8 \cdot 0 = 0$$

Значит, x = 2 является корнем уравнения.

2) $$4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$$

Заметим, что $$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$$. Обозначим $$2^x = t$$, тогда получим квадратное уравнение:

$$t^2 - 10t + 16 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$$

Корни:

$$t_1 = \frac{10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$t_2 = \frac{10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Теперь вернемся к замене $$2^x = t$$.

a) Если $$t = 8$$, то $$2^x = 8 = 2^3$$, следовательно, $$x = 3$$.

Подставим x = 3 в исходное уравнение:

$$(4^3 - 10 \cdot 2^3 + 16) \cdot \sqrt{3 - 2} = (64 - 80 + 16) \cdot \sqrt{1} = 0 \cdot 1 = 0$$

Значит, x = 3 является корнем уравнения.

б) Если $$t = 2$$, то $$2^x = 2 = 2^1$$, следовательно, $$x = 1$$.

Подставим x = 1 в исходное уравнение:

$$(4^1 - 10 \cdot 2^1 + 16) \cdot \sqrt{1 - 2} = (4 - 20 + 16) \cdot \sqrt{-1} = 0 \cdot \sqrt{-1}$$

Но корень квадратный из отрицательного числа не существует, поэтому x = 1 не является решением.

Таким образом, уравнение имеет два корня: 2 и 3. Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 2; 3