Окружности с центрами в точках Р и R пересекаются в точках S и Т, причём точки Р и R лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые PR и ST перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть окружности с центрами P и R пересекаются в точках S и T.

1. Треугольник PST является равнобедренным, так как PS и PT — радиусы окружности с центром P. Следовательно, медиана PM к основанию ST будет также высотой, то есть PM \(\perp\) ST.

2. Треугольник RST является равнобедренным, так как RS и RT — радиусы окружности с центром R. Следовательно, медиана RM к основанию ST будет также высотой, то есть RM \(\perp\) ST.

3. Так как обе прямые PM и RM перпендикулярны к одной и той же прямой ST и проходят через одну и ту же точку M (пересечение ST и PR), то точки P, M, R лежат на одной прямой, которая совпадает с прямой PR.

4. Следовательно, прямая PR перпендикулярна прямой ST.

Доказано.