4. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=54°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем углы при основании: $$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180 - 54}{2} = \frac{126}{2} = 63^{\circ}$$ Угол $$ \angle BOC $$ - центральный угол, опирающийся на дугу BC. Угол $$\angle BAC $$ - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Однако в данном случае, нужно немного изменить логику рассуждений. Рассмотрим четырехугольник ABCO. Сумма его углов равна 360 градусов. Угол \(\angle OAB = \angle OBC = 90 - 54/2 = 90 - 27 = 63 \) т.к. углы опираются на катет = радиусу. Итого два угла по 63. Значит два других угла дадут 360 - 63*2 = 234. Углы равны, значит угол BOC = 234/2 = 117 $$\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2*63 =126$$ Поскольку угол \(\angle ABC\) острый, угол \(\angle BOC\) будет тупым и больше 90 градусов. Чтобы его найти, воспользуемся следующей формулой: \(\angle BOC = 2 \cdot (180 - \angle BAC)\) Тогда \(\angle BOC = 2 \cdot (180 - 63) = 2 \cdot 117 = 234\) Из полученного значения нужно вычесть 360, чтобы получить искомый угол: $$\angle BOC = 360 - 234 = 126^{\circ}$$ Ответ: **126**.