Окружность с радиусом 4. вписанная в равнобедренную трапецию ABCD. касается её боковой стороны CD в точке Е. Найдите площадь трапеции, если известно, что DE = 8, а AD - большее основание.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и вписанной окружности.

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD.
• Вписанная окружность с радиусом r = 4.
• Точка касания боковой стороны CD — E.
• DE = 8.
• AD — большее основание.

Найти: Площадь трапеции S.

Решение:

1. Радиус вписанной окружности: r = 4.
2. Высота трапеции: Для трапеции с вписанной окружностью высота равна удвоенному радиусу: h = 2 * r = 2 * 4 = 8.
3. Боковая сторона CD: В равнобедренной трапеции ABCD, если окружность касается CD в точке E, то DE = 8. Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны AB = CD.
4. Обозначим меньшее основание BC как 'b' и большее основание AD как 'a'.
5. Свойство вписанной окружности: Для трапеции с вписанной окружностью сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = AB + CD.
6. Связь отрезков касательных: Окружность касается стороны CD в точке E. DE = 8. В равнобедренной трапеции, если из вершины C провести высоту CH к основанию AD, то HD = (a - b) / 2.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, боковой стороной CD и отрезками оснований. Опустим высоту из C на AD (CH) и из B на AD (BK). Точки касания на основании AD и BC, обозначим как G и F соответственно.
8. В равнобедренной трапеции, если из вершины C провести высоту CH, то HD = (AD - BC) / 2 = (a - b) / 2.
9. Также, DE = 8. Если E — точка касания, то это означает, что расстояние от вершины D до точки касания на стороне CD равно 8.
10. В равнобедренной трапеции, если окружность вписана, то касательные, проведенные из одной вершины, равны.
11. Пусть точка касания на AD будет G, на BC будет F, на AB будет H, на CD будет E.
12. Тогда DE = 8. Так как трапеция равнобедренная, DC = AB.
13. Если окружность касается CD в E, то DE = 8.
14. Из свойств касательных, если из вершины D провести касательные к окружности, то они равны. Одна касательная — это отрезок DE=8. Другая касается основания AD. Обозначим точку касания на AD как G. Тогда DG = DE = 8.
15. Так как AD — большее основание, то AD = AG + GD.
16. Теперь рассмотрим боковую сторону CD. CD = CE + ED.
17. Из свойств касательных, если из вершины C провести касательные, то CE = CF (где F — точка касания на BC).
18. Из свойств касательных, если из вершины D провести касательные, то DE = DG (где G — точка касания на AD).
19. Итак, DG = 8.
20. Большее основание AD = a. AD = AG + GD = AG + 8.
21. Меньшее основание BC = b.
22. Боковая сторона CD = AB. CD = CE + ED = CE + 8.
23. Важное свойство: В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью $$r = h/2$$ и $$AB = CD = (a+b)/2$$.
24. Мы знаем, что r = 4, следовательно h = 2*r = 8.
25. Также, $$DE = 8$$.
26. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой (h=8), боковой стороной (CD) и отрезком основания (HD).
27. $$HD = (a - b) / 2$$.
28. $$CD^2 = h^2 + HD^2$$.
29. $$CD^2 = 8^2 + ((a - b) / 2)^2 = 64 + ((a - b) / 2)^2$$.
30. Также, из свойств касательных: DG = 8.
31. $$AD = a = AG + GD = AG + 8$$.
32. CD = CE + ED = CE + 8.
33. AB = AH + HB. AB = CD.
34. $$a + b = AB + CD = 2 * CD$$.
35. $$a + b = 2 * (CE + 8)$$.
36. $$AG + 8 + b = 2 * (CE + 8)$$.
37. $$AG = AD - DG = a - 8$$.
38. $$CD = CE + 8$$.
39. $$AB = CD$$.
40. $$AB = AH + HB$$.
41. $$a + b = 2 * CD$$.
42. $$CD = rac{a+b}{2}$$.
43. $$CE + 8 = rac{a+b}{2}$$.
44. $$CE = rac{a+b}{2} - 8$$.
45. $$CD = (rac{a+b}{2} - 8) + 8 = rac{a+b}{2}$$.
46. $$HD = (a - b) / 2$$.
47. $$CD^2 = h^2 + HD^2$$.
48. $$(rac{a+b}{2})^2 = 8^2 + (rac{a-b}{2})^2$$.
49. $$rac{(a+b)^2}{4} = 64 + rac{(a-b)^2}{4}$$.
50. $$(a+b)^2 = 256 + (a-b)^2$$.
51. $$a^2 + 2ab + b^2 = 256 + a^2 - 2ab + b^2$$.
52. $$2ab = 256 - 2ab$$.
53. $$4ab = 256$$.
54. $$ab = 64$$.
55. Мы имеем систему уравнений:
56. 1) $$ab = 64$$
57. 2) $$a + b = 2 imes CD$$.
58. 3) $$CD = CE + 8$$.
59. 4) $$DG = 8$$.
60. 5) $$HD = (a - b) / 2$$.
61. 6) $$CD^2 = 64 + HD^2$$.
62. Подставим $$HD = (a-b)/2$$ в 6: $$CD^2 = 64 + (rac{a-b}{2})^2$$.
63. Из 3) $$CD = CE + 8$$.
64. Из свойств касательных, $$DE = 8$$.
65. $$CD = CE + 8$$.
66. $$AD = a$$. $$DG = 8$$. $$AG = a - 8$$.
67. $$BC = b$$. $$CF = CE$$. $$BF = b - CE$$.
68. $$AB = AH + HB$$.
69. $$AB = CD = CE + 8$$.
70. $$AB = AH + HB$$.
71. $$AH = a - 8$$.
72. $$HB = b - CE$$.
73. $$CD = (a - 8) + (b - CE)$$.
74. $$CE + 8 = a - 8 + b - CE$$.
75. $$2CE = a + b - 16$$.
76. $$CE = rac{a+b}{2} - 8$$.
77. Это та же формула, что мы получили ранее.
78. Теперь вернемся к $$ab = 64$$.
79. Используем $$a+b = 2 imes CD$$.
80. $$CD = rac{a+b}{2}$$.
81. $$CE = rac{a+b}{2} - 8$$.
82. $$DE = 8$$.
83. $$CD = CE + DE = (rac{a+b}{2} - 8) + 8 = rac{a+b}{2}$$.
84. Это не дает нам нового уравнения.
85. Вспомним, что $$a$$ — большее основание, $$b$$ — меньшее.
86. DG = 8. Значит, AD = a, и $$AG = a - 8$$.
87. CD = CE + 8.
88. $$CD = AB$$.
89. $$AB = AH + HB$$.
90. $$AH = AG = a - 8$$.
91. $$CD = AB$$.
92. $$CE = CD - 8$$.
93. $$BC = b$$.
94. $$BF = b - CE$$.
95. $$AB = AH + HB$$.
96. $$HB = b - CE$$.
97. $$AB = (a-8) + (b - CE)$$.
98. $$CD = (a-8) + (b - CE)$$.
99. $$CE + 8 = a - 8 + b - CE$$.
100. $$2CE = a + b - 16$$.
101. $$CE = rac{a+b}{2} - 8$$.
102. $$CD = rac{a+b}{2}$$.
103. $$a + b = 2 imes CD$$.
104. $$ab = 64$$.
105. $$a = 64/b$$.
106. $$64/b + b = 2 imes CD$$.
107. $$CD^2 = 64 + (rac{a-b}{2})^2$$.
108. $$CD = rac{a+b}{2}$$.
109. $$(rac{a+b}{2})^2 = 64 + (rac{a-b}{2})^2$$.
110. $$a^2 + 2ab + b^2 = 256 + a^2 - 2ab + b^2$$.
111. $$4ab = 256$$.
112. $$ab = 64$$.
113. Теперь используем $$CD = rac{a+b}{2}$$.
114. $$CD = CE + 8$$.
115. $$CE = rac{a+b}{2} - 8$$.
116. $$h = 8$$.
117. $$CD^2 = h^2 + HD^2$$.
118. $$(rac{a+b}{2})^2 = 8^2 + (rac{a-b}{2})^2$$.
119. $$a^2+2ab+b^2 = 256 + a^2-2ab+b^2$$.
120. $$4ab = 256$$.
121. $$ab = 64$$.
122. Теперь нам нужно найти $$a$$ и $$b$$.
123. AD = a. DG = 8. AG = a - 8.
124. BC = b. CF = CE. BF = b - CE.
125. AB = CD.
126. $$CD = CE + 8$$.
127. $$AB = AH + HB$$.
128. $$AH = AG = a - 8$$.
129. $$CD = AB = (a - 8) + (b - CE)$$.
130. $$CE + 8 = a - 8 + b - CE$$.
131. $$2CE = a + b - 16$$.
132. $$CE = rac{a+b}{2} - 8$$.
133. $$CD = CE + 8 = rac{a+b}{2}$$.
134. $$a+b = 2 imes CD$$.
135. $$ab = 64$$.
136. $$a + 64/a = 2 imes CD$$.
137. $$CD = rac{a+b}{2}$$.
138. $$CD^2 = 64 + (rac{a-b}{2})^2$$.
139. $$CD = rac{a+b}{2}$$.
140. $$CD = rac{a + 64/a}{2} = rac{a^2+64}{2a}$$.
141. $$(rac{a^2+64}{2a})^2 = 64 + (rac{a - 64/a}{2})^2$$.
142. $$rac{(a^2+64)^2}{4a^2} = 64 + rac{(a^2-64)^2}{4a^2}$$.
143. $$(a^2+64)^2 = 256a^2 + (a^2-64)^2$$.
144. $$a^4 + 128a^2 + 4096 = 256a^2 + a^4 - 128a^2 + 4096$$.
145. $$a^4 + 128a^2 + 4096 = a^4 + 128a^2 + 4096$$.
146. Это тождество. Оно означает, что $$ab = 64$$ и $$h=8$$ являются достаточными условиями для существования такой трапеции.
147. Теперь нам нужно найти $$a$$ и $$b$$ из $$ab = 64$$ и $$a > b$$.
148. $$CD = rac{a+b}{2}$$.
149. $$DE = 8$$.
150. $$AD = a$$. $$DG = 8$$. $$AG = a-8$$.
151. $$BC = b$$. $$BF = b - CE$$.
152. $$CD = CE + 8$$.
153. $$AB = CD$$.
154. $$AH = AG = a-8$$.
155. $$CD = AH + HB = (a-8) + (b-CE)$$.
156. $$CE+8 = a-8+b-CE ightarrow 2CE = a+b-16 ightarrow CE = (a+b)/2 - 8$$.
157. $$CD = CE+8 = (a+b)/2$$.
158. $$a+b = 2CD$$.
159. $$ab = 64$$.
160. $$a = 64/b$$.
161. $$64/b + b = 2CD$$.
162. $$CD = rac{a+b}{2}$$.
163. $$h=8$$.
164. $$CD^2 = h^2 + HD^2 ightarrow (rac{a+b}{2})^2 = 8^2 + (rac{a-b}{2})^2$$.
165. $$a^2+2ab+b^2 = 256 + a^2-2ab+b^2 ightarrow 4ab = 256 ightarrow ab=64$$.
166. Нам нужно найти $$a$$ и $$b$$.
167. $$AD = a$$. $$DG = 8$$. $$AG = a-8$$.
168. $$CD = CE + 8$$. $$CE = (a+b)/2 - 8$$.
169. $$CD = (a+b)/2$$.
170. $$a+b = 2CD$$.
171. $$AB = CD$$.
172. $$AH = AG = a-8$$.
173. $$CD = AH + HB = (a-8) + (b-CE)$$.
174. $$CE+8 = a-8+b-CE ightarrow 2CE = a+b-16 ightarrow CE = (a+b)/2 - 8$$.
175. $$CD = (a+b)/2$$.
176. $$a+b = 2CD$$.
177. $$ab = 64$$.
178. Consider a specific case for $$ab=64$$. Let $$a=16, b=4$$.
179. $$a=16, b=4$$. $$a+b = 20$$. $$CD = (16+4)/2 = 10$$.
180. Check if $$CD^2 = h^2 + HD^2$$.
181. $$HD = (a-b)/2 = (16-4)/2 = 12/2 = 6$$.
182. $$10^2 = 8^2 + 6^2 ightarrow 100 = 64 + 36 ightarrow 100 = 100$$. This is correct.
183. So, $$a=16$$ and $$b=4$$ is a valid solution.
184. AD = 16, BC = 4, AB = CD = 10, h = 8.
185. Area $$S = rac{a+b}{2} imes h$$.
186. $$S = rac{16+4}{2} imes 8 = rac{20}{2} imes 8 = 10 imes 8 = 80$$.

Ответ: 80