Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны АВ в точке Е. Найдите площадь трапеции, если известно, что ВЕ = 2, а ВС – меньшее основание трапеции.

1. Так как радиус вписанной окружности равен 3, высота трапеции равна диаметру, то есть 6. Так как трапеция равнобедренная, то точка касания Е делит боковую сторону АВ пополам, если бы касание было в середине. Но Е - точка касания, и BE = 2. В равнобедренной трапеции, если вписана окружность, то боковая сторона равна полусумме оснований. Радиус окружности равен половине высоты, то есть r = h/2 = 3. Следовательно, высота трапеции h = 6. Так как окружность касается боковой стороны АВ в точке Е, то OE перпендикулярно АВ. В равнобедренной трапеции, касательная к окружности из вершины угла при большем основании отсекает от боковой стороны отрезок, равный меньшему основанию. Однако, здесь касание происходит на боковой стороне. В равнобедренной трапеции, если вписана окружность, то отрезки от вершины до точек касания равны. Пусть точка касания на ВС будет F, на CD будет G, на AD будет H. Тогда BF = BE = 2. Так как ВС - меньшее основание, то BC = 2 * BF = 4. Пусть CD = x. Тогда CG = CF = BC/2 = 2. DG = DH. AD = AH + HD. AB = AE + EB. В равнобедренной трапеции AB = CD = x. Так как BE = 2, то AE = x - 2. AB = CD, значит x = x. Это не помогает. В равнобедренной трапеции, если вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. BC + AD = AB + CD. 4 + AD = 2x. AD = 2x - 4. Высота трапеции h = 6. Проведем высоту из В к AD, пусть она будет ВК. В прямоугольном треугольнике АВК, АК = (AD - BC)/2 = (2x - 4 - 4)/2 = (2x - 8)/2 = x - 4. По теореме Пифагора: AB^2 = BK^2 + AK^2. x^2 = 6^2 + (x - 4)^2. x^2 = 36 + x^2 - 8x + 16. 0 = 52 - 8x. 8x = 52. x = 52/8 = 13/2 = 6.5. Значит, CD = AB = 6.5. AD = 2 * 6.5 - 4 = 13 - 4 = 9. Площадь трапеции = (BC + AD)/2 * h = (4 + 9)/2 * 6 = 13/2 * 6 = 13 * 3 = 39.