Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей (рис. 55). Докажите, что отрезок этой секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.

1. Пусть центр окружности O, точки касания на параллельных прямых A и B, точка касания на секущей C. OA и OB перпендикулярны параллельным прямым и равны радиусу. 2. Треугольники OAC и OBC конгруэнтны (по гипотенузе OC и катету OA=OB=r). 3. Углы AOC и BOC равны. Угол ACB = 90 градусов. Угол AOB = Угол AOC + Угол BOC = 2 * Угол AOC. Так как OA перпендикулярно прямой, то угол между OA и секущей AC равен 90 градусов. В треугольнике OAC, угол AOC = 90 - угол OAC. Угол AOB = 180 - 2 * угол OAC. Это неверно. Переформулируем. 1. Пусть центр окружности O, точки касания на параллельных прямых A и B, точка касания на секущей C. OA и OB перпендикулярны параллельным прямым и равны радиусу. 2. Треугольники OAC и OBC конгруэнтны (по гипотенузе OC и катету OA=OB=r). 3. Углы AOC и BOC равны. Угол AOB = Угол AOC + Угол BOC = 2 * Угол AOC. Так как OA и OB перпендикулярны параллельным прямым, то отрезок AB является диаметром. Угол ACB = 90 градусов. В треугольнике OAC, угол AOC = 90 - угол OAC. В треугольнике OBC, угол BOC = 90 - угол OBC. Угол AOB = 180 - (угол OAC + угол OBC). Так как прямые параллельны, то угол OAC + угол OBC = 90. Следовательно, угол AOB = 90. Доказано.