Решение уравнений

1. $$(x^2 + 3)^2 = 2(x - 1)^2$$

Раскроем скобки:

$$x^4 + 6x^2 + 9 = 2(x^2 - 2x + 1)$$ $$x^4 + 6x^2 + 9 = 2x^2 - 4x + 2$$ $$x^4 + 4x^2 + 4x + 7 = 0$$

Это уравнение не имеет очевидных рациональных корней. Можно попробовать численные методы для нахождения приближенных решений, но аналитически решить это уравнение довольно сложно.

Можно заметить, что при x = -1, уравнение близко к нулю: $$(-1)^4 + 4(-1)^2 + 4(-1) + 7 = 1 + 4 - 4 + 7 = 8$$. То есть, корень где-то рядом с -1.

2. $$x^4 + 2x^2 - 8x - 4 = 0$$

Попробуем найти рациональные корни. Возможные корни: ±1, ±2, ±4. Подставим их в уравнение:

• x = 1: $$1 + 2 - 8 - 4
  eq 0$$
• x = -1: $$1 + 2 + 8 - 4
  eq 0$$
• x = 2: $$16 + 8 - 16 - 4 = 4
  eq 0$$
• x = -2: $$16 + 8 + 16 - 4 = 36
  eq 0$$

Попробуем разложить на множители. Заметим, что $$x^4 + 2x^2 - 8x - 4 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (ac+b+d)x^2 + (ad+bc)x + bd$$

Сравнивая коэффициенты, получаем:

• $$a+c = 0$$
• $$ac+b+d = 2$$
• $$ad+bc = -8$$
• $$bd = -4$$

Так как $$a = -c$$, то $$-c^2 + b + d = 2$$ и $$a(d-b) = -8$$. Поскольку $$bd = -4$$, попробуем варианты $$b=2, d=-2$$ или $$b=-2, d=2$$.

Если $$b = 2, d = -2$$, то $$-c^2 = 2$$ что невозможно.

Если $$b = -2, d = 2$$, то $$-c^2 + 0 = 2$$ тоже невозможно.

Тогда попробуем следующее разложение: $$x^4 + 2x^2 - 8x - 4 = (x^2+2)^2 -4x^2 -8x - 8 = (x^2 + 2)^2 -4(x^2 +2x + 2)$$

Это разложение не упрощает задачу. Однако, заметим, что если попробовать $$x = -0.5$$, то мы можем получить некоторое упрощение. Фактически у этого уравнения есть два действительных решения.

3. $$x^4 - 10x^2 - 4x + 8 = 0$$

Рассмотрим возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±4, ±8

• x = 1: $$1 - 10 - 4 + 8 = -5
  eq 0$$
• x = -1: $$1 - 10 + 4 + 8 = 3
  eq 0$$
• x = 2: $$16 - 40 - 8 + 8 = -24
  eq 0$$
• x = -2: $$16 - 40 + 8 + 8 = -8
  eq 0$$

Попробуем найти решения численно. Это уравнение также не имеет простых аналитических решений.

В итоге, можно заключить, что все три уравнения не имеют простых рациональных решений и для их решения требуются численные методы или более сложные аналитические подходы.