Решение задач по геометрии.

1. Задача 1: Найти углы равнобедренной трапеции, если один угол больше другого на 10°.

   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Пусть меньший угол равен $$x$$, тогда больший угол равен $$x + 10^{\circ}$$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°. Следовательно, $$x + x + 10^{\circ} = 180^{\circ}$$.

   Решим уравнение:

   $$2x + 10^{\circ} = 180^{\circ}$$ $$2x = 170^{\circ}$$ $$x = 85^{\circ}$$

   Значит, меньший угол равен 85°, а больший угол равен $$85^{\circ} + 10^{\circ} = 95^{\circ}$$.

   Ответ: Углы трапеции: $$85^{\circ}, 85^{\circ}, 95^{\circ}, 95^{\circ}$$.

2. Задача 2: Найти боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 16 см и 10 см, если один из углов 120°.

   Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD = 16 см, BC = 10 см, и угол A = 120°. Проведем высоты BH и CF к основанию AD. Тогда AH = FD, и $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 10}{2} = 3$$ см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH = 120°, значит, угол ABH = 180° - 120° = 60°. Тогда угол BAH = 90° - 60° = 30°. Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то $$AB = 2 cdot AH = 2 cdot 3 = 6$$ см.

   Ответ: Боковые стороны трапеции равны 6 см.

3. Задача 3: Найти меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 16 см и 10 см, если один из углов 45°.

   Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD = 16 см, BC = 10 см, угол A = 90°, угол D = 45°. Проведем высоту CH к основанию AD. Тогда AH = BC = 10 см, и $$HD = AD - AH = 16 - 10 = 6$$ см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Угол D = 45°, значит, угол DCH = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник CHD равнобедренный, и $$CH = HD = 6$$ см.

   Так как трапеция прямоугольная, то меньшая боковая сторона AB = CH = 6 см.

   Ответ: Меньшая боковая сторона равна 6 см.