1. Найти производную: а) 7х3-2x7 6) 4x23x+5Sin(x) в) (2x² + ln(x))(4 + x3) г) X 2. Найти значение производной в точке хо: a) y = cos(x) +2x3, χο= π/2 3. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = 3х2 + 2х в точке хо = 2 4. Точка движется по прямолинейному закону x(t)=2,5t2-10t + 11. В какой момент времени скорость тела будет равна 40? 5. Найти значения х, при которых значения x производной функции f(x) = 1+* отрицательно. x²+3

1. а) Найти производную функции: 7x³ - 2x⁷

   Используем правило производной степенной функции: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹

   \[ (7x^3 - 2x^7)' = 7(3x^2) - 2(7x^6) = 21x^2 - 14x^6 \]

   Ответ: 21x² - 14x⁶

2. б) Найти производную функции: 4x² - 3x + 5sin(x)

   Используем правило производной суммы и известные производные:

   (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, (sin(x))' = cos(x)

   \[ (4x^2 - 3x + 5sin(x))' = 4(2x) - 3 + 5cos(x) = 8x - 3 + 5cos(x) \]

   Ответ: 8x - 3 + 5cos(x)

3. в) Найти производную функции: (2x² + ln(x))(4 + x³)

   Используем правило производной произведения: (uv)' = u'v + uv'

   \[ ((2x^2 + ln(x))(4 + x^3))' = (4x + \frac{1}{x})(4 + x^3) + (2x^2 + ln(x))(3x^2) \]

   \[ = 16x + 4x^4 + \frac{4}{x} + x^2 + 6x^4 + 3x^2ln(x) = 10x^4 + 16x + 4x^2 + \frac{4}{x} + 3x^2ln(x) \]

   Ответ: 10x⁴ + 16x + 4x² + 4/x + 3x²ln(x)

4. г) Найти производную функции: x/(x²-1)

   Используем правило производной частного: (u/v)' = (u'v - uv')/v²

   \[ (\frac{x}{x^2 - 1})' = \frac{1(x^2 - 1) - x(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = -\frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} \]

   Ответ: -(x²+1)/(x²-1)²

5. 2. Найти значение производной в точке xo: y = cos(x) + 2x³, xo = π/2

   Найдем производную функции:

   \[ y' = (cos(x) + 2x^3)' = -sin(x) + 6x^2 \]

   Вычислим значение производной в точке xo = π/2:

   \[ y'(\frac{\pi}{2}) = -sin(\frac{\pi}{2}) + 6(\frac{\pi}{2})^2 = -1 + 6(\frac{\pi^2}{4}) = -1 + \frac{3\pi^2}{2} \]

   Ответ: -1 + (3π²)/2

6. 3. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x² + 2x в точке xo = 2

   Уравнение касательной имеет вид: y = f'(xo)(x - xo) + f(xo)

   Найдем f(xo) и f'(xo):

   \[ f(x) = 3x^2 + 2x \]

   \[ f(2) = 3(2)^2 + 2(2) = 12 + 4 = 16 \]

   \[ f'(x) = 6x + 2 \]

   \[ f'(2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14 \]

   Подставим в уравнение касательной:

   \[ y = 14(x - 2) + 16 = 14x - 28 + 16 = 14x - 12 \]

   Ответ: y = 14x - 12

7. 4. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 2.5t² - 10t + 11. В какой момент времени скорость тела будет равна 40?

   Скорость есть производная от координаты по времени: v(t) = x'(t)

   \[ x(t) = 2.5t^2 - 10t + 11 \]

   \[ v(t) = x'(t) = 5t - 10 \]

   Решаем уравнение: v(t) = 40

   \[ 5t - 10 = 40 \]

   \[ 5t = 50 \]

   \[ t = 10 \]

   Ответ: t = 10

8. 5. Найти значения x, при которых значения производной функции f(x) = (1+x)/(x²+3) отрицательно.

   Найдем производную функции:

   \[ f(x) = \frac{1 + x}{x^2 + 3} \]

   \[ f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 3) - (1 + x)(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{x^2 + 3 - 2x - 2x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} \]

   Производная отрицательна, когда числитель отрицателен (знаменатель всегда положителен):

   \[ -x^2 - 2x + 3 < 0 \]

   \[ x^2 + 2x - 3 > 0 \]

   Решаем квадратное уравнение:

   \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

   \[ D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]

   \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]

   \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

   Решением неравенства является:

   \[ x < -3 \] или \[ x > 1 \]

   Ответ: x < -3 или x > 1

Ответ: Решение выше