2. Найти экстремумы функции: 1) f (x) = x³ x²- x + 2; 2) f(x) (54x) ex.

1) Найдём экстремумы функции $$f(x) = x^3 - x^2 - x + 2$$.

Для этого найдём её производную и приравняем к нулю:

$$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$$

$$3x^2 - 2x - 1 = 0$$

Корни этого уравнения, как мы уже нашли в предыдущем задании: $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -\frac{1}{3}$$

Теперь проверим знак производной на интервалах, чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами.

Интервалы: $$(-\infty, -\frac{1}{3}), (-\frac{1}{3}, 1), (1, +\infty)$$

• На интервале $$(-\infty, -\frac{1}{3})$$ возьмём $$x = -1$$. Тогда $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0$$. Функция возрастает.

• На интервале $$(-\frac{1}{3}, 1)$$ возьмём $$x = 0$$. Тогда $$f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0$$. Функция убывает.

• На интервале $$(1, +\infty)$$ возьмём $$x = 2$$. Тогда $$f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0$$. Функция возрастает.

Таким образом, в точке $$x = -\frac{1}{3}$$ функция меняет возрастание на убывание, поэтому это точка максимума.

В точке $$x = 1$$ функция меняет убывание на возрастание, поэтому это точка минимума.

Значение функции в точке максимума:

$$f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) + 2 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 = \frac{-1 - 3 + 9 + 54}{27} = \frac{59}{27}$$

Значение функции в точке минимума:

$$f(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1$$

2) Найдём экстремумы функции $$f(x) = (5 - 4x)e^x$$.

Найдём производную:

$$f'(x) = -4e^x + (5 - 4x)e^x = e^x(-4 + 5 - 4x) = e^x(1 - 4x)$$

Приравняем производную к нулю:

$$e^x(1 - 4x) = 0$$

Так как $$e^x$$ всегда больше 0, то $$1 - 4x = 0$$

$$4x = 1$$

$$x = \frac{1}{4}$$

Определим знак производной слева и справа от точки $$x = \frac{1}{4}$$.

• При $$x = 0$$, $$f'(0) = e^0(1 - 4 \cdot 0) = 1 > 0$$

• При $$x = 1$$, $$f'(1) = e^1(1 - 4 \cdot 1) = -3e < 0$$

Следовательно, $$x = \frac{1}{4}$$ является точкой максимума.

Значение функции в точке максимума:

$$f(\frac{1}{4}) = (5 - 4 \cdot \frac{1}{4})e^{\frac{1}{4}} = (5 - 1)e^{\frac{1}{4}} = 4e^{\frac{1}{4}}$$.

Ответ:

1) Точка максимума: $$(-\frac{1}{3}; \frac{59}{27})$$. Точка минимума: $$(1; 1)$$.

2) Точка максимума: $$(\frac{1}{4}; 4e^{\frac{1}{4}})$$.