Найти частное решение дифференциального уравнения $$\frac{dx}{x-2} + \frac{dy}{y^2} = 0$$, если $$x = 3$$, $$y = \frac{1}{2}$$

Решаем дифференциальное уравнение:

$$\frac{dx}{x-2} + \frac{dy}{y^2} = 0$$

Переносим второе слагаемое в правую часть:

$$\frac{dx}{x-2} = - \frac{dy}{y^2}$$

Интегрируем обе части:

$$\int \frac{dx}{x-2} = - \int \frac{dy}{y^2}$$ $$\ln|x-2| = \frac{1}{y} + C$$

Используем начальные условия $$x = 3$$, $$y = \frac{1}{2}$$ для нахождения константы C:

$$\ln|3-2| = \frac{1}{\frac{1}{2}} + C$$ $$\ln(1) = 2 + C$$ $$0 = 2 + C$$ $$C = -2$$

Подставляем значение C обратно в общее решение:

$$\ln|x-2| = \frac{1}{y} - 2$$

Выражаем y:

$$\frac{1}{y} = \ln|x-2| + 2$$ $$y = \frac{1}{\ln|x-2| + 2}$$

Ответ: $$y = \frac{1}{\ln|x-2| + 2}$$