574. Найдите: а) сумму 2+4+6+ ... + 2п. слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до 2n: 6) сумму 1+3+5+ ... + (2n - 1), слагаемыми которой явля- ются все нечетные натуральные числа от 1 до 2n-1.

a) Сумма четных натуральных чисел от 2 до 2n:

Члены прогрессии: 2, 4, 6, ..., 2n

Разность прогрессии: d = 2

Количество членов: n

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

В нашем случае: a₁ = 2, aₙ = 2n

Подставляем значения в формулу:

\[ S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = (1 + n)n = n(n + 1) \]

Ответ: n(n + 1)

б) Сумма нечетных натуральных чисел от 1 до (2n - 1):

Члены прогрессии: 1, 3, 5, ..., (2n - 1)

Разность прогрессии: d = 2

Количество членов: n

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

В нашем случае: a₁ = 1, aₙ = 2n - 1

Подставляем значения в формулу:

\[ S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2 \]

Ответ: n²