574. Найдите: а) сумму 2 + 4 + 6 + ... + 2n, сл все чётные натуральные числа от 2 до 2n; б) сумму 1+3+5+ ... + (2n - 1), слагаемыми которой явля- ются все нечетные натуральные числа от 1 до 2n - 1.

a) Сумма четных чисел от 2 до 2n:

• Последовательность: 2, 4, 6, ..., 2n.
• Это арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 2 и последним членом aₙ = 2n.
• Количество членов n = n.

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \] Подставляем значения: \[ S_n = \frac{n(2 + 2n)}{2} = \frac{2n(1 + n)}{2} = n(n + 1) \]

Ответ: n(n + 1)

б) Сумма нечетных чисел от 1 до 2n-1:

• Последовательность: 1, 3, 5, ..., (2n - 1).
• Это арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 1 и последним членом aₙ = 2n - 1.
• Количество членов n = n.

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \] Подставляем значения: \[ S_n = \frac{n(1 + (2n - 1))}{2} = \frac{n(2n)}{2} = n^2 \]

Ответ: n²