Найдите значение выражения \( \sqrt{45 · 27} \cdot \sqrt{60} \).

Решение:

1. Упростим выражения под корнями, выделив полные квадраты:
• \( 45 = 9 · 5 = 3^2 · 5 \)
• \( 27 = 9 · 3 = 3^2 · 3 \)
• \( 60 = 4 · 15 = 2^2 · 3 · 5 \)
2. Подставим разложение в исходное выражение:
\( \sqrt{3^2 · 5 · 3^2 · 3} · \sqrt{2^2 · 3 · 5} \)
3. Извлечём квадратные корни из полных квадратов:
\( (3 · 3 · \sqrt{5 · 3}) · (2 · \sqrt{3 · 5}) \) \( (9 · \sqrt{15}) · (2 · \sqrt{15}) \)
4. Перемножим полученные выражения:
\( 9 · 2 · \sqrt{15} · \sqrt{15} \) \( 18 · 15 \)
5. Вычислим произведение:
\( 18 · 15 = 270 \)

Ответ: 270