Найдите значение выражения \(\left(b^{16}\right)^{\frac{5}{6}} b^{-10} : \left(b^{-3}\right)^3\) при \(b = 0,001\).

Решение:

• Упростим выражение, используя свойства степеней: \(\(a^m\)^n = a^{m imes n}\) и \(a^m : a^n = a^{m-n}\).
• \(\left(b^{16}\right)^{\frac{5}{6}} = b^{16 imes rac{5}{6}} = b^{\frac{80}{6}} = b^{\frac{40}{3}}\).
• \(\left(b^{-3}\right)^3 = b^{-3 imes 3} = b^{-9}\).
• Исходное выражение примет вид: \(b^{\frac{40}{3}} b^{-10} : b^{-9}\).
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(b^{\frac{40}{3}} b^{-10} = b^{\frac{40}{3} - 10} = b^{\frac{40}{3} - \frac{30}{3}} = b^{\frac{10}{3}}\).
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(b^{\frac{10}{3}} : b^{-9} = b^{\frac{10}{3} - (-9)} = b^{\frac{10}{3} + 9} = b^{\frac{10}{3} + \frac{27}{3}} = b^{\frac{37}{3}}\).
• Теперь подставим значение \(b = 0,001\). Удобнее представить \(0,001\) как степень десятки: \(0,001 = 10^{-3}\).
• \(b^{\frac{37}{3}} = \left(10^{-3}\right)^{\frac{37}{3}} = 10^{-3 imes \frac{37}{3}} = 10^{-37}\).

Ответ: \(10^{-37}\)