Найдите значение выражения \( \frac{\sqrt{65} - \sqrt{13}}{\sqrt{5}} \)

Решение:

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

\( \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{5}} \)

Упростим первое слагаемое:

\( \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{65}{5}} = \sqrt{13} \)

Теперь подставим обратно:

\( \sqrt{13} - \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{5}} \)

Вынесем \( \sqrt{13} \) за скобки:

\( \sqrt{13} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \)

Приведём к общему знаменателю в скобках:

\( \sqrt{13} \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}} \right) \)

Умножим и разделим на \( \sqrt{5} \) для избавления от иррациональности в знаменателе:

\( \frac{\sqrt{13} \cdot \sqrt{5} \left( \sqrt{5} - 1 \right)}{5} = \frac{\sqrt{65} \left( \sqrt{5} - 1 \right)}{5} \)

Раскроем скобки:

\( \frac{\sqrt{65} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{65}}{5} = \frac{\sqrt{325} - \sqrt{65}}{5} \)

\( \sqrt{325} = \sqrt{25 \cdot 13} = 5\sqrt{13} \)

\( \frac{5\sqrt{13} - \sqrt{65}}{5} = \sqrt{13} - \frac{\sqrt{65}}{5} \)

Альтернативный способ:

\( \frac{\sqrt{65} - \sqrt{13}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{13 \cdot 5} - \sqrt{13}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{13} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{13}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{13} (\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5}} = \sqrt{13} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}} = \sqrt{13} \cdot (1 - \frac{1}{\sqrt{5}}) \)

\( = \sqrt{13} \cdot (1 - \frac{\sqrt{5}}{5}) = \sqrt{13} - \frac{\sqrt{65}}{5} \)

Ответ: \( \sqrt{13} - \frac{\sqrt{65}}{5} \)