Найдите значение выражения \( \frac{10^9}{(2^5)^2 \cdot 5^7} \)

Решение:

1. Упростим знаменатель, используя свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m } \): \( (2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{10^9}{2^{10} \cdot 5^7} \).
3. Разложим \( 10^9 \) на множители: \( 10^9 = (2 \cdot 5)^9 = 2^9 \cdot 5^9 \).
4. Подставим это в дробь: \( \frac{2^9 \cdot 5^9}{2^{10} \cdot 5^7} \).
5. Теперь сократим степени: \( \frac{2^9}{2^{10}} = 2^{9-10} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \).
6. И \( \frac{5^9}{5^7} = 5^{9-7} = 5^2 = 25 \).
7. Перемножим полученные результаты: \( \frac{1}{2} \cdot 25 = \frac{25}{2} \).
8. Переведем в десятичную дробь: \( \frac{25}{2} = 12.5 \).

Ответ: 12,5