1.1.85. Найдите значение выражения $$3 \sin{\frac{19\pi}{12}} \cdot \cos{\frac{19\pi}{12}}$$.

Для решения этого выражения, как и в предыдущем, воспользуемся формулой двойного угла для синуса: $$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$$. Преобразуем данное выражение: $$3 \sin{\frac{19\pi}{12}} \cos{\frac{19\pi}{12}} = \frac{3}{2} \cdot 2 \sin{\frac{19\pi}{12}} \cos{\frac{19\pi}{12}} = \frac{3}{2} \sin{\frac{2 \cdot 19\pi}{12}} = \frac{3}{2} \sin{\frac{19\pi}{6}}$$ Теперь упростим аргумент синуса: $$\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6}$$. Тогда выражение можно переписать как: $$\frac{3}{2} \sin{\left(3\pi + \frac{\pi}{6}\right)}$$ Используем формулу приведения: $$\sin{(3\pi + x)} = -\sin{x}$$. Получаем: $$\frac{3}{2} \left(-\sin{\frac{\pi}{6}}\right) = -\frac{3}{2} \sin{\frac{\pi}{6}}$$ Так как $$\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$$, то: $$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} = -0.75$$ Ответ: -0.75