Найдите значение выражения \(\frac{7ab}{a+7b} \cdot (\frac{a}{7b} - \frac{7b}{a})\) при \(a = 7\sqrt{2} + 7, b = \sqrt{2} - 9\).

Пошаговое решение:

1. Упростим выражение в скобках: \(\frac{a}{7b} - \frac{7b}{a} = \frac{a^2 - (7b)^2}{7ab} = \frac{a^2 - 49b^2}{7ab}\)
2. Теперь умножим это на \(\frac{7ab}{a+7b}\): \(\frac{7ab}{a+7b} \cdot \frac{a^2 - 49b^2}{7ab} = \frac{a^2 - 49b^2}{a+7b}\)
3. Разложим числитель на множители: \(\frac{(a - 7b)(a + 7b)}{a+7b} = a - 7b\)
4. Теперь подставим значения a и b: \(a - 7b = (7\sqrt{2} + 7) - 7(\sqrt{2} - 9) = 7\sqrt{2} + 7 - 7\sqrt{2} + 63 = 7 + 63 = 70\)

Ответ: 70